函数f（x）=x/lnx的图像
数学有三种基本运算：加法运算（包括减法运算）、乘法运算（包括除法运算）和幂运算。加法运算和乘法运算都有交换律，即对两个数a和b,a+b=b+a,ab=ba。但是幂运算却没有类似的交换律，一般说来ab≠ba。比如23＜32，而34＞43，等等。那么，ab和ba的大小有怎样的关系呢？比如，对数学中最重要的两个常数π和e, eπ和πe到底哪个大呢？这是一个比较有趣的问题。由于π和e都是超越数，eπ和πe不是一下就能算出来的，通过计算它们的数值来比较它们的大小也不是一个有价值的办法。
我们考虑一般的问题：假设a＞b＞1，如何比较ab和ba的大小。这样的幂运算是比较复杂的，我们可以考虑它们的对数，将幂运算化为乘法运算，即比较blna和alnb的大小，这里lna表示a的自然对数。这两个数中都是既有a又有b，再转化一下，只要比较a/lna和b/lnb的大小就可。现在，问题就变成研究函数f（x）=x/lnx（x＞1），当变量x取不同值时，其函数值的大小变化。也就是说将问题转化成研究函数f（x）的性质，比如单调性、最大（小）值等。如果f（x）单调增，则当a＞b时就有f（a）＞f（b）。
这个函数f（x）=x/lnx还是比较复杂的，单凭初等数学的知识要弄清这个函数的性质有点困难。尽管如此，我们还是可以做些初步的观察。
比如，让x逐渐变小趋近于1，则分母lnx会越来越小，且趋近于0。因此函数值f（x）=x/lnx会越来越大，且趋向于无穷大。而当x逐渐变大并趋于无穷大，情况就稍微复杂一些。记k=lnx，则f（x）=x/lnx=ek/k。我们知道，x趋向于无穷大意味着k也趋向于无穷大。由于e＞2，而我们又知道2k的增长速度要远远快于k自身的增长，于是，可以看出f（x）=x/lnx=ek/k也会随着x的增大而越来越大，直至趋于无穷大。现在，我们对这个函数可以有个大概的感觉了：它的图像应该在1和∞两端上翘，并延伸至无穷大。如此说来，函数f（x）应该在区间（1，∞）中间有一个最小值（如图）。那么，这个最小值在哪里出现呢？初等数学对此无能为力了，需要利用大学数学中的微积分知识。直观上看，图像曲线在最小值处应有水平的切线，而判断切线是否水平，这是微积分轻而易举就能做到的。函数f（x）=x/lnx，当且仅当x满足lnx-1=0时才有水平切线。于是，我们知道，f（x）在x=e处的取值是最小的，只要x≠e，一定有f（x）=x/lnx＞f（e）=e/lne，或者xlne＞elnx，回到指数形式，就有ex＞xe。而π≠e，我们自然就有eπ＞πe。
这个例子告诉我们，初等数学能够解决的问题其实是非常有限的。如果要解决比较复杂的问题，还需要学习更多的数学知识。而随着现代科技的发展，需要用到的数学知识将会越来越广泛。（邱维元）
初等数学能够解决的问题是有限的，证明eπ＞πe需用到高等数学知识
【微问题】你能否证明
是无穷大？【关键词】极限 幂运算
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